יהושע נולד וגדל בהרצליה. למד בבית הספר התיכון עירוני הרצליה, בו שימש כקפטן קבוצת הכדורגל של בית הספר בשנה בה זכתה קבוצתו באליפות הארץ והעפילה לאליפות העולם באירלנד. בנוסף שיחק בילדותו ב"נבחרת האפרוחים" בכדורגל של ישראל.

יהושע התגייס לצה"ל בשנת 1977 ושירת במגוון תפקידים ביחידת מודיעין שדה. הוא סיים את שירותו לאחר מלחמת לבנון הראשונה בדרגת סרן.

ב-1986 סיים באוניברסיטת בר-אילן תואר ראשון במדעי המדינה וסוציולוגיה ובעל תואר שני ביחסים בינלאומיים מטעמה.

רמי יהושע החל את דרכו ב-1985 כמנהל שיווק של העיתון חדשות ונמנה עם מקימיו. ב-1986 עבר לעולם הפרסום ושימש כתקציבאי בפרסום "בינג ליניאל". ב-1991 הצטרף כשותף למשרד הפרסום "בילצקי, ערמוני, יהושע", ובמאי 1994 הקים את משרד הפרסום "יהושע ושות'".

בשנת 1997 רכשה חברת הפרסום האמריקאית TBWA (מקבוצת OMNICOM, קבוצת הפרסום הגדולה בעולם כיום) 25% מהחברה, ושמה שונה ל"יהושע\TBWA". ב-2010 רכשה "יהושע\TBWA" את חברת הפרסום הדיגיטלי TBWA\DIGITAL, והטמיעה אותה כזרוע הדיגיטל של המשרד. ב-2013 רכשה 33% ממשרד הפרסום "לעומק התודעה" וב- 2014 ייסדה את חברת הפרפורמנס OCEAN.

כמו כן, שותפה יהושע\TBWA ב-50% בחברת רכש המדיה ה-3 בגודלה בישראל, TMF.

המשרד משרת לקוחות גדולים ומובילים במשק הישראלי, בהם בנק דיסקונט, מקדונלד'ס, מלונות פתאל, ויזה כאל, טרה ועוד. כמו כן, מטפל המשרד כ"פרו-בונו" בעמותות ומלכ"רים רבים, ביניהם ער"ן, אנוש (העמותה הישראלית לבריאות הנפש), העמותה למאבק במחלת ה-A-T, בעצמי ועוד.